Как вычислить значение проекции?

 

Решая задачи, мы постоянно сталкиваемся с необходимостью определять проекции векторов. Это вызвано тем, что в условии задачи данные указывают модули (длины) векторов, а в формулах используются проекции. С механизмом определения величины и знака проекции мы знакомились на странице «Проекция вектора», т.е. опустить перпендикуляры из начала и конца вектора на ось и измерить расстояние между ними вдоль оси. На чертежах в тетради мы не всегда соблюдаем масштаб (что собственно и не очень важно), а это не позволяет воспользоваться прямым измерением значения проекции. Есть несколько способов обойтись без масштаба и измерений линейкой. Вот о них я хочу сейчас рассказать.

Начнем с простого примера. Рассмотрим проекции нескольких векторов.

Что имеется у нас в распоряжении? Есть некоторые вектора в количестве четырёх штук, выбраны оси. Для проецирования опускаем перпендикуляры на ось и измеряем расстояние между перпендикулярами от проекции начала к проекции конца (напоминаю, направление измерения важно для определения знака проекции). Для первого вектора проекция положительная и равна по величине длине отрезка A₁B₁, Для второго вектора значение проекции отрицательное (движемся от начала к концу против оси) и равно длине отрезка C₁D₁. А вот с третьим и четвертым векторами творится что-то непонятное. Перпендикуляры из начала вектора и из конца попали в одну и ту же точку на оси, т.е., как говорится, совпали. Как тут мерить расстояние? Если две точки совпали, то расстояние между ними равно нулю, следовательно, длина проекции и её значение в этом случае «ноль».

Очень интересное правило. Если вектор перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю.

Другой случай. Мы выбрали ось так, что вектор оказался параллелен этой оси.

Снова опускаем перпендикуляры на ось для определения проекции. На чертеже получилась замечательная геометрическая фигура – прямоугольник. Сейчас нас интересует одно свойство прямоугольника: противоположные стороны равны. Это значит, что длина вектора (его модуль, то, что указано в данных задачи, то, что нам известно) равна величине проекции.  Это прекрасно, в уравнении для решения задачи появляется известная величина.

Вместе с известной величиной в уравнении у нас появляется правило. Если вектор параллелен оси, то его проекция на эту ось равна модулю (длине) самого вектора.

Что получается? Если вектор расположен «удачно» относительно оси (перпендикулярно или параллельно), то величина его проекции достаточно понятна. Но полагаться на удачу в вопросе решения задач по физике не очень правильно. Как сделать, чтобы удача была всегда на нашей стороне? Я уже упоминал, что направление осей мы можем выбирать самостоятельно: куда нам нравится, туда и направим.

Поэтому разумно при изображении чертежей к решению задачи использовать следующее правило: оси направляем так, чтобы большинство векторов было параллельно им.

А что делать, если на чертеже один или несколько векторов не хотят быть параллельными или перпендикулярными осям? Это случай посложнее, но отчаиваться не стоит, нам поможет геометрия.

Опустив перпендикуляры, на оси мы получили фигуру, которая называется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике длина гипотенузы равна длине вектора (это значение нам известно из условия задачи), а катеты по длине равны значениям проекций на оси, которым они параллельны. Обратите внимание, что в этом треугольнике известен один из острых углов. Это дает возможность воспользоваться соотношениями прямоугольного треугольника.

Прилежащий катет к углу альфа – это произведение гипотенузы на косинус угла

a_x = a*cos (α)

Противолежащий катет к углу альфа – это произведение гипотенузы на синус угла

a_y = a*sin (α)

Таким образом, если проекции измерить невозможно, то их можно вычислить.