Решение задач по динамике

 Расклад сил.

Все задачи по динамике решаются с помощью одного уравнения, которое называется «Основное уравнение динамики». Это уравнение представляет сочетание второго закона Ньютона и принципа суперпозиции сил.

В левой части равенства находится произведение массы тела и ускорения, которое получает тело в результате действия всех сил, приложенных к телу. Величина этого произведения равна равнодействующей всех приложенных сил. А справа от знака равенства расположена сумма всех сил, которые действуют на это тело (причем, только на это тело). Следует отметить, что уравнение записывается в векторном виде, а затем выполняется его проецирование.

Чтобы правильно определить проекции векторов (знаки и величины проекций), придется выполнить чертеж с указанием всех векторов сил, приложенных к телу, и ускорения, с которым движется тело.

Таким образом, правильное решение задачи зависит от умения проецировать вектора и определять силы, действующие на тело. С первым вопросом мы уже разбирались ранее на странице «Как вычислить значение проекции?». А про силы и их направление поговорим сейчас.

Начнем с ускорения, которое получает тело. Если тело движется по какой-то поверхности и при этом не взлетает с нее и не погружается вглубь, то вектор ускорения будет направлен вдоль этой поверхности. Если изучаемый объект находится в воздухе, то ускорение, скорее всего, направлено вертикально. При этом необходимо понимать, что ускорение a, получаемое в результате действия многих сил, не является ускорением свободного падения g. Последнее ускорение создается действием только силы тяжести, а в наших задачах ей «помогают» еще и другие силы, поэтому в результате величина и направление ускорения могут измениться.

При определении направления ускорения необходимо учитывать и форму траектории. Если тело движется по дуге окружности (преодолевает выпуклый мост, проходит углубление, яму, и т.п.), то обязательно появляется центростремительное ускорение, направленное к центру окружности, по дуге которой движется тело.

Теперь о силах и их направлении.

Все силы действуют на тело, приложены, в различных местах и направлениях. Если на чертеже учитывать место приложения силы и указывать ее именно там, то это может вызвать некоторые затруднения при проецировании. В наших задачах, как правило, тела движутся поступательно, т.е. такие тела можно смело считать материальной точкой. Поэтому лучше всего указывать начала векторов в одной точке, центре масс этого тела. Когда тело совершает не поступательное движение, то здесь лучше применять уравнение моментов сил, а это совсем другая история (см. статику).

Если рассматривается движение тела где-то вблизи поверхности Земли, то всегда необходимо учитывать силу тяжести. Она направлена всегда вертикально вниз и обозначается mg.

Если тело находится на опоре, прижато к стене, то обязательно есть сила реакции опоры. Эта сила действует всегда перпендикулярно опоре и направлена от нее. Сила реакции не дает телу «провалиться» сквозь опору. Как правило, реакция появляется в результате действия на опору веса тела по третьему закону Ньютона. Поэтому, если нас просят найти вес тела, то мы будем искать именно силу реакции, и предъявлять ее величину в качестве веса тела. Но так же надо учитывать, что вес и сила реакции опоры не всегда равны силе тяжести, их надо каждый раз определять заново. И в итоге, сила реакции опоры обозначается буквой N.

Вес тела на чертеже не обозначается, так как приложен не к изучаемому телу, а к опоре. На правом рисунке тело прижато к стене и реакция направлена от стены горизонтально.

Следующая сила, о которой следует сказать, сила натяжения нити. Она обозначается буквой T. Эта сила направлена всегда вдоль нити, которая привязана к телу, и направлена от тела. То есть, если видите нить, то смело можете рисовать эту силу. Сила натяжения прикладывается к обоим концам нити и всегда направлена от тела, к которому привязана (извините, если повторяюсь). Отмечу, что силы натяжения, создаваемые одной и той же нитью одинаковые. Если тело висит на нити, то сила натяжения выполняет роль реакции и равна весу. Когда просят найти вес тела, поднимаемого или опускаемого на веревке, то ищем именно натяжение нити.

Сила натяжения работает, если сказано, что нить нерастяжимая. Но, если в задаче говорится о том, что нить удлинилась, или к телу присоединена пружина, тогда вместо натяжения необходимо использовать силу упругости. Сила упругости работает так же, как сила натяжения, т.е. направление и прочее, но обозначать ее лучше по-другому. Например, F_упр. Это необходимо для того, чтобы понимать, что эту силу можно заменить выражением согласно закону Гука.

В это выражении: k – коэффициент жесткости, Δl – удлинение или сжатие пружины. Удлинение нужно определять как изменение длины пружины от ее первоначальной длины.

Еще одна важная сила из механики. Это сила трения. Сила трения действует, если тело касается какой-либо поверхности и движется вдоль нее. Ну, или пытается сдвинуться, например, по инерции. Направлена сила трения против возникающего движения и пытается воспрепятствовать этому движению.

В первом случае тело затягивают веревкой вверх по наклонной, а во втором оно само соскальзывает вниз.

У силы трения, как и у силы упругости, есть свое выражение, которым ее можно заменять:

В этом выражении: μ – коэффициент трения или сопротивления, N – сила реакции опоры (вот эта сила и пригодилась).

Силы трения может и не быть, если в условии задачи сказано ей пренебречь или тело скользит по очень гладкой поверхности.

Может быть еще и «сила тяги». Эта сила обычно прилагается вдоль поверхности, по которой движется тело, и направлена в сторону движения. Такую силу лучше обозначать просто F. Особых формул для нее нет: ее либо надо найти, либо она известна.

Если в условии задачи сказано, что тело несет электрический заряд и находится вблизи другого заряда или в электрическом поле, то появляется сила Кулона. Когда проводник, по которому течет электрический ток, оказывается в магнитном поле, то необходимо учитывать силу Ампера. Подробнее об этих силах будем говорить в курсе Электродинамики.

Итак, рисунок составлен, все силы указаны (не забыли и об ускорении). Теперь выбираем оси для проецирования. Оси лучше выбирать так, чтобы одна была направлена вдоль поверхности, по которой движется тело, а вторая – перпендикулярно первой. Такой выбор системы отсчета во многом упрощает в дальнейшем процесс проецирования.

Теперь составляем основное уравнение динамики (ОУД) для каждого тела, входящего в систему, по отдельности: сколько тел – столько и ОУД. Затем проецируем каждое уравнение на выбранные оси. Каждое уравнение может дать до двух новых уравнений в проекциях. В этих уравнениях заменяем силы трения и упругости соответствующими выражениями. В результате получается система уравнений, которая решается с помощью математических методов.

Решив систему, получаем ответ. 

Вот и всё. Мой рассказ длился дольше, чем решается задача по динамике.