Некоторые случаи решения задач по динамике.

 

Некоторые случаи решения задач по динамике.

1. Движение тела по горизонтальной поверхности.

Это самый распространенный случай. Тело движется под действием некоторой силы или действие силы заканчивается, и тело скользит по инерции. На рисунке случай, когда тело толкают вдоль поверхности и оно движется с ускорением.

В этом случае обязательно действуют сила тяжести (mg) и сила реакции опоры (N). Сила тяжести направлена вертикально вниз, а реакция опоры компенсирует ее: вертикально вверх.

Как правило, действует сила трения (Fтр). Она направлена против движения тела. Отсутствует сила трения, если оговорено в условии, что ей пренебречь или поверхность «очень» гладкая. На наличие силы трения в условии указывает присутствие коэффициента трения (сопротивления) μ.

Присутствует иногда «сила тяги» (F), то есть сила, которую прилагают для движения тела. Вместо силы тяги чаще всего выступает сила натяжения нити(T), если в условии сказано, что тело тянут за привязанную нить. Вместо «нерастяжимой нити» может присутствовать резиновый жгут или пружина. В таком случае лучше вместо натяжения нити использовать силу упругости (Fупр), так как эти задачи подразумевают использование закона Гука (Fупр=kΔl).

Оси координат направляют так: Ох – вдоль поверхности, по которой движется тело; Oy – перпендикулярно ей. Проекции сил тяжести и реакции опоры на Ох будут равны 0. Сила трения даст проекцию на ось Ох, на Oy – 0. Внимательно работаем со знаками. Проецирование основного уравнения динамики на ось Oy нужна для того, чтобы определить величину силы реакции опоры (N), которая потребуется для расчета силы трения (Fтр=μN)

С силой тяги бывают сложности. В нормальной ситуации сила тяги, сила натяжения нити направлены вдоль поверхности. Когда сила тяги направлена под углом к горизонту, скажем, α, возникают неприятности с проецированием. Сила тяги на ось Ох дает проекцию Fx=F*cos(α), а на ось Oy будет проекция Fy=F*sin(α). Кроме того, надо помнить, что в таком случае сила реакции опоры однозначно не равна силе тяжести, опоре «помогает» сила тяги.

Если силы тяги нет, то сила трения тормозит тело, движение равнозамедленное и ускорение направлено против движения (сонаправлен с силой трения). При наличии силы тяги ускорение направлено по действию силы тяги, по движению. Если в условии говорится о достаточной для движения или минимальной силе, то имеется в виду, что сила тяги лишь компенсирует сопротивление: ускорение равно нулю, движение равномерное.

2. Движение по вертикальной поверхности.

Особый случай, когда тело прижато к вертикальной поверхности. Здесь сила реакции уравновешивает уже не силу тяжести, а силу, с которой прижимают тело к стене (F = N). Если тело покоится, то силу тяжести уравновешивает сила трения, а если тело движется, то надо смотреть куда оно движется и направлять силу трения против движения.

Рисунок сделан к задаче, в которой говорится о том, что тело удерживается прижатым к стене.

3. Тело висит на нити.

Этот случай появляется, если тело подвешено на нити и не касается никаких поверхностей.

При составлении рисунка необходимо разобраться с направлением ускорения (a). В моем рисунке тело движется вниз. Направление ускорения влияет на величину силы натяжения нити (T). Кстати, сила натяжения при наличии ускорения не равна силе тяжести (вес тела меняется).

Сила натяжения T, когда нить нерастяжимая. Если опять же резиновый жгут или подвешено на пружине, то применяем силу упругости (см. выше).

Чтобы понять, как направлено ускорение, представьте, что вы остановили систему и удерживаете в состоянии покоя. А теперь отпускаем и смотрим, в какую сторону начнут движение тела: куда началось движение, туда же будет направлено ускорение тела. Опыт лучше проводить виртуально (мысленно).

Ось, разумеется, направляем вертикально. Даже рисовать не стал, а вы при решении задачи рисуйте обязательно и не забудьте обозначить направление. А то, как проецировать будем?

4. Движение по наклонной поверхности.

Возможны несколько случаев: тело покоится, тело скатывается, тело поднимают вверх и т.д.

А) Покоящееся тело на наклонной поверхности.

Сразу определимся, что ускорение отсутствует.

Начнем с направления осей. Ось Ох направляется вдоль поверхности, а ось Oy перпендикулярно ей. Такой выбор направлений упрощает операцию определения проекций. Сила трения дает проекцию только на ось Ох, а реакция опоры – на ось Oy.

Проецируем силу тяжести на оси, для этого проводим перпендикуляры из конца вектора на оси координат. Получаются прямоугольные треугольники, в которых гипотенуза соответствует по величине mg. Треугольники, как несложно доказать математику, являются подобными наклонной плоскости.

Здесь при изображении плоскости появляется небольшая хитрость. Один острый угол визуально должен быть значительно больше другого. Тогда мы сможем легко найти соответствующие углы и в наших треугольниках.

Пусть плоскость составляет с горизонталью угол α. В таком случае проекция силы тяжести на ось Ох составит mg*sin(α), а проекция на ось Oy получится равной mg*cos(α).

Проекция силы тяжести на ось Oy будет равна по величине силе реакции опоры или весу тела, если хотите. А проекция на ось Ox по величине будет равна силе трения, если тело покоится без дополнительных усилий (нет удерживающей силы). Здесь работает сила трения покоя, а она может быть и меньше, чем обычное μN (будьте осторожны).

Если силы трения недостаточно для удержания тела (мал коэффициент трения или уклон слишком велик), то может потребоваться дополнительно удерживающая сила F. Она направлена вверх, вдоль плоскости. В таком случае сила трения уже будет по максимуму: μN. А проекция силы тяжести на ось Ох будет равна сумме трения и удерживающей силы.

Б) Тело соскальзывает по наклонной плоскости.

Чертеж будет аналогичен предыдущему случаю. Но требуется обратить внимание на условие задачи, чтобы понять ситуацию с ускорением.

Если сказано, что тело движется равномерно или с постоянной скоростью, то ускорения нет.

Если говорится, что начинает скатываться из состояния покоя, то будет ускорение, направленное вниз.

Если говорится, что тело толкнули, и оно через некоторое время остановилось (оставаясь на наклонной), то ускорение направлено вверх по наклонной.

Величина силы трения, так как тело находится в движении, будет равна μN.

Проекции сил будут аналогичны предыдущему случаю.

Может присутствовать «сдерживающая сила», которая направлена так же, как и сила сопротивления и обеспечивает равномерное движение вниз.

В) Тело поднимается вверх.

Сила трения будет направлена уже вниз, вдоль наклонной плоскости. Обязательно должна быть сила, которая тянет тело вверх. Это может быть сила тяги F или сила натяжения нити T, если привязана нить.

По поводу ускорения надо внимательно читать условие задачи: смотреть, что там сказано по этому вопросу. Если говорится о минимальной силе, которую необходимо приложить, чтобы поднимать тело по плоскости, то движение равномерное, без ускорения.

5. Тело покоится на подвижной опоре.

Эта ситуация связана с историей, когда тело лежит на чем-либо, что двигают, или оно вращается.

В таком случае движущей силой будет сила трения, именно она будет удерживать одно тело на другом. Следует учитывать, что оба тела будут двигаться с одинаковыми ускорениями. Например, на доске лежит шайба, доску тянут, а шайба не соскальзывает.

Небольшое замечание: максимальное значение указанной силы трения будет зависеть от веса верхнего тела. Если появится необходимость рассматривать силы, действующие на нижнее тело, то требуется учесть, что по третьему закону Ньютона на доску со стороны верхнего тела тоже действует такая же сила трения по величине, но направленная в другую сторону. Особенно об этом надо помнить, если в условии сказано, что доска движется без трения по поверхности.

У силы трения имеется предельное значение, которое определяется произведением μN, а следовательно и есть предел ускорению, которое оно может создать (если сильно дернуть доску, то шайба соскользнет в обратную сторону). Как правило, в задачах и говорится о таком предельном случае.

Например, доска массой М лежит на очень гладкой поверхности, а на ней шайба  массой m. К доске прилагают силу F. При каком коэффициенте трения шайба не соскользнет с доски?

Когда на доску подействуют силой, то она из-за малого трения о стол вместе с шайбой начнет скользить с ускорением. Для определения ускорения требуется рассмотреть доску вместе с шайбой, как единое тело массой M+m. Сила трения будет внутренней для этой системы и в ОУД не учитывается. Тогда (M+m)a=F. Отсюда ускорение системы будет равно: a=F/(M+m).

Теперь рассматриваем отдельно шайбу, без доски. Она движется относительно Земли с ускорением a, которое ей обеспечивает сила трения: ma=Fтр. Сила трения равна μN, где N – сила реакции опоры и в данном случае равна mg (так как нет вертикального ускорения). Собираем все вместе: ma=μmg. Из последнего выражения следует, что μ=a/g. Подставляем выражение для a из предыдущего абзаца и получаем расчетную формулу: μ=F/(Mg+mg).

При записи ответа надо понимать, что если коэффициент рения будет меньше значения, полученного выражения, то шайба соскользнет. А если будет равно и больше, то останется на доске. Поэтому правильным в ответе будет использование не жесткого равенства, а знака больше или рано.

Более просто решается задача, если тело лежит на вращающемся диске. Здесь сила трения обеспечивает возникновение центростремительного ускорения: a = μg. Далее только остается вспомнить подходящее уравнение для центростремительного ускорения: через линейную скорость, частоту или период, смотря, что дано или найти.

Продолжение следует.