Как решать задачи про теплообмен

 

При решении задач про теплообмен самое трудное составить уравнение теплового баланса и разобраться в процессах, которые происходят в системе. Для решения этих проблем я предлагаю представить рассматриваемые процессы в виде схематического рисунка. Как это делается, лучше рассмотреть на решении конкретных примеров.

Пример 1.

Смешали 6 кг воды при 42 °С, 4 кг воды при 72 °С и 20 кг воды при 18 °С. Определить температуру смеси.

Составим краткую запись данных.

Дано:

m₁ = 6 кг

t₁ = 42 °С

m₂ = 4 кг

t₂ = 72 °С

m₃ = 20 кг

t₃ = 18 °С

C = 4200 Дж/(кг*°С)

Найти:

Θ - ?

Обратите внимание, что данные, относящиеся к каждому отдельному телу (вода с точки зрения физики тоже тело), отмечены своими индексами. В данных появилось величина, не указанная в условии задачи. Это удельная теплоемкость воды, которую я подсмотрел в соответствующей таблице. Почему вода, потому что в условии сказано, что вещество всех тел, участвующих в теплообмене, является водой. В «найти» появилась странная буква. Это буква греческого алфавита «тэта». Я ее использовал для обозначения общей конечной температуры, чтобы выделялась из общего ряда температур.

Теперь составляем схему процессов, происходящих при смешивании.

Схема представляет собой шкалу термометра, на которой мы отмечаем температуры, которые указаны в условии задачи. Вверху самая большая, а внизу самая маленькая температура, как на термометре. Общую температуру Θ, которая установилась после теплообмена, я поместил между начальными температурами первого и третьего тел, если даже я ошибся, то на верность ответа это не повлияет.

Теперь размещаем на температурных полочках наши тела соответственно их температурам.

Стрелками указываем изменение температуры каждого тела. Стрелки указывают, на какой уровень температуры переместилось каждое тело в результате теплообмена. Для всех тел конечным уровнем будет Θ. Каждая стрелка соответствует изменению внутренней энергии тела, а значит и некоторому количеству теплоты Q.

Количество теплоты Q для каждого тела обозначаем соответствующим индексом.

Схема готова, можно приступать к составлению уравнения теплового баланса. Это уравнение является записью закона сохранения энергии для теплообмена. Количество теплоты - это величина энергии, которую получило тело или отдало при теплообмене. Если тело получает энергию, то для него количество теплоты будет со знаком «плюс», а если отдает, то знак будет «минус». По нашей схеме можно сказать, что отрицательными будут Q1 и Q2, а Q3 - положительное.

Но энергия не исчезает и не берется из «ниоткуда». Поэтому сколько отдали, столько же и получили. Если все количества теплоты сложить, то в сумме должно быть «ноль». Вот это и есть уравнение теплового баланса.

В нашем уравнении три слагаемых, так как на схеме всего три процесса, в более сложной ситуации и слагаемых может быть больше. Теперь каждое слагаемое необходимо расшифровать, подставить необходимую формулу. В нашей задаче происходит только нагревание и остывание, поэтому для всех слагаемых Q формула будет одинаковая, будут отличаться только индексы.

В этой формуле m – масса тела, С – удельная теплоемкость вещества, t – начальная температура, θ – конечная температура. При записи уравнения очень важно не переставлять местами конечную и начальную температуры независимо от их значений (некоторые, видя что конечная температура меньше начальной, меняют их местами, это очень не правильно).

Схема, которую мы составили, поможет разобраться при составлении формул. Для формулы берем массу, которая стоит в начале стрелки. Удельную теплоемкость выбираем соответствующую для вещества этого тела (смотрим по индексу, если тела состоят из разных веществ). Конечную температуру берем на уровне, где заканчивается стрелка, а начальную указывает уровень начала стрелки.

Вот какие выражения для количества теплоты получились у меня по нашей схеме:

А теперь подставляем эти выражения в уравнение теплового баланса:

Получилось довольно большое уравнение, но главное его не боятся, и выражать неизвестную величину. Для этого необходимо раскрыть скобки. Все слагаемые без неизвестной величины (θ) переносим в правую часть (не забываем изменить знак). Выносим в левой части θ за скобки (общий множитель). Обе части делим на выражение в скобках из левой части. Должно получиться следующее уравнение:

Результат рассчитайте сами, подставив соответствующие числа из данных задачи. Интересно, правильно ли я предположил, что установится температура между 18 и 42 градусами? Жду ваших ответов.

Пример 2.

Вода массой 150 г, налитая в латунный калориметр массой 200 г, имеет температуру 12 °С. Найти температуру, которая установится в калориметре, если в воду опустить железную гирю массой 0,5 кг, нагретую до 100 °С.

Дано:

m₁ = 150 г = 0,15 кг

t₁ = 12 °С

C₁ = 4200 Дж/(кг*°С)

m₂ = 200 г = 0,2 кг

C₂ = 400 Дж/(кг*°С)

m₃ = 0,5 кг

t₃ = 100 °С

C₁ = 460 Дж/(кг*°С)

 

Найти:

Θ - ?

В данных обратите внимание, что массы все переведены в килограммы. У каждого тела своя удельная теплоемкость со своим индексом, это вызвано тем, что все тела состоят из разных веществ. Есть в условии задачи еще одна хитрость. Изначально вода находилась в калориметре достаточно долго, значит, даже если у них когда-то были разные температуры, то калориметр и вода успели прийти к тепловому равновесию, и их начальные температуры стали одинаковыми.

Схема к задаче будет выглядеть следующим образом:

Если в схеме что-либо не ясно, пишите, отвечу на ваши вопросы с удовольствием.

Осталось только составить уравнение теплового баланса, выразить неизвестную величину и рассчитать ее. Это вы уже сможете сделать без моих подсказок. Успехов.

Очень интересно узнать о результатах вычислений. Жду их с нетерпением.